Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс
На стороне BC равностороннего треугольника ABC построена полуокружность, лежащая вне треугольника. На ней выбраны точки D и E так, что BD=DE=EC. Докажите, что отрезки AD и AE делят сторону BC на три равные части.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
A′ - точка, симметричная A относительно BC. Тогда:
1) Вся картина симметричная относительно AA′.
2) ∠CDB=∠CEB=90, то есть D,E - середины A′B,A′C.
Пусть AD∩BC=F, тогда из-за параллельности AC и A′B получаем ACF∼DBF с коэффициентом 12 и BFFC=12, а из-за симметрии выходит, что точка симметричная F лежит на AE и делит отрезок BC в таком отношении, то есть AD,AE делят BC на 3 равные части.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.