Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып

Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасына үшбұрыштың сыртында жататын жарты шеңбер сызылған. Жарты шеңберден $BD=DE=EC$ орындалатындай $D$ және $E$ нүктелері алынған. $AD$ және $AE$ кесінділері $BC$ қабырғасын тең үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$A'$ - точка, симметричная $A$ относительно $BC$. Тогда:

1) Вся картина симметричная относительно $AA'$.

2) $\angle CDB = \angle CEB = 90$, то есть $D,E$ - середины $A'B,A'C$.

Пусть $AD \cap BC = F$, тогда из-за параллельности $AC$ и $A'B$ получаем $ACF \sim DBF$ с коэффициентом $ \frac{1}{2}$ и $\frac{BF}{FC} = \frac{1}{2}$, а из-за симметрии выходит, что точка симметричная $F$ лежит на $AE$ и делит отрезок $BC$ в таком отношении, то есть $AD,AE$ делят $BC$ на $3$ равные части.