Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс

Докажите, что на плоскости существует 2011 различных точек, не лежащие все на одной прямой, все попарные расстояния между которыми – натуральные числа.

Комментарий/решение

Представим первую точку назовем её S, добавляем новую назовем её B в произвольном направлении. Все оставшиеся точки должны быть на одной линии которая перпендикулярна линии между S и B. Точки должны быть расположены так что бы линии между произвольной точкой S и B были пифогоровами тройками.

Первая точка будет лежать на координатах $(0,0)$

Вторая точка будет лежать на координатах $(0,1*3*5*7*9* ... * 4017)$ = $(0,a)$

А остальные $2009$ точек будут лежать на осе $X$ справа от первой точки на координатах $(\frac{\frac{a^2}{k} - k}{2}, 0)$, где $k$ принимает нечетные целые значения от $1$ до $4017$.

$a^2$ делится на $k$ ,и они обе нечетные.Значит $\frac{a^2}{k} - k$ четный , и $\frac{\frac{a^2}{k} - k}{2}$ натуральное число,так как $a>k$, значит $\frac{a^2}{k} > k$.

Все $2010$ точек на оси $X$ лежат друг от друга на натуральном расстояние.Первая и вторая точка тоже лежат на натуральном расстояние.А расстояние между второй и всеми точками кроме первой и второй по теореме Пифагора равно $$\sqrt{a^2 + (\frac{\frac{a^2}{k} - k}{2})^2}=\sqrt{a^2+ \frac{\frac{a^4}{k^2}-2a^2+k^2}{4}}=\sqrt{\frac{\frac{a^4}{k^2}+2a^2+k^2}{4}}= \frac{\frac{a^2}{k}+k}{2}$$

То есть натуральное значение,Ч.Т.Д