Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс

Сумма положительных чисел $x, y, z$ равна 2. Докажите, что выполняется неравенство $$ \frac{1} {x} + \frac{1} {y} + \frac{1} {z} + \frac{9} {4} \leq \frac{1} {{x^2 }} + \frac{1} {{y^2 }} + \frac{1} {{z^2 }}. $$

Комментарий/решение

Коши теңсіздігі бойынша: $\frac{1}{x^2}+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{x}$; $\frac{1}{y^2}+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{y}$; $\frac{1}{z^2}+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{z}.$

Алынған теңсіздіктерді қоссақ: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{27}{4}\geq 3\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ).$

Орталар теңсіздігінен: $ 3\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2\cdot \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+9.$

Сонда $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{27}{4}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+9.$

Бұдан $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+9-\frac{27}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{4}.$