Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып

$x$, $y$, $z$ оң сандарының қосындысы 2-ге тең. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{9}{4} \leq \dfrac{1}{{x^2 }}+\dfrac{1}{{y^2 }}+\dfrac{1}{{z^2 }}.$$

Комментарий/решение

Коши теңсіздігі бойынша: $\frac{1}{x^2}+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{x}$; $\frac{1}{y^2}+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{y}$; $\frac{1}{z^2}+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{z}.$

Алынған теңсіздіктерді қоссақ: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{27}{4}\geq 3\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ).$

Орталар теңсіздігінен: $ 3\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2\cdot \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+9.$

Сонда $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{27}{4}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+9.$

Бұдан $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+9-\frac{27}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{4}.$