қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $A$, $B$, $C$ сандары үш түрлі тақ цифрлар болсын. $s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ саны үштаңбалы екені белгілі. $s$–ті табыңыздар. ($\overline{abc}$ арқылы көрсетілген ретте $a$, $b$, $c$ цифрларынан тұратын санның ондық жазбасы белгіленеді.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасына үшбұрыштың сыртында жататын жарты шеңбер сызылған. Жарты шеңберден $BD=DE=EC$ орындалатындай $D$ және $E$ нүктелері алынған. $AD$ және $AE$ кесінділері $BC$ қабырғасын тең үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Төрт есеп шешуге берілген математикалық олимпиадада 25 оқушы қатысады. Әрбір есеп шешілген не шешілмеген(бөлігін шығарды деген қарастырылмайды) болып есептеледі. Төртеуі де ортақ бір есепті шығарған(немесе төртеуі ешбір есеп шығармаған) төрт оқушы табылатынын немесе бірінің шығармаған есептерін бірі шығарған екі оқушы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген $n > 1$ және $k > 1$ натурал сандары үшін $n^{k+2}-n^k$ саны 12-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $x$, $y$, $z$ оң сандарының қосындысы 2-ге тең. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{9}{4} \leq \dfrac{1}{{x^2 }}+\dfrac{1}{{y^2 }}+\dfrac{1}{{z^2 }}.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жазықтықта барлығы бір түзудің бойында жатпайтындай әрбір кесінді ұзындығы натурал сан болатындай 2011 әр түрлі нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)