Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс

Докажите, что для любых натуральных $n>1$ и $k>1$ число $n^{k+2}-n^k$ делится на 12.

Комментарий/решение

Сначала докажем что она делиться на 4

Для этого представим все возможные остатки

n в степени k от деления на 4

Это 0,1,2,3

Если остаток 1 то n= 1;3 (mod 4)

Тогда n^(k+2)-n^k=1;9-1=0(mod 4)

В случае с остатком в 3 доказательство точно такое

В случае с остатком в 0 n^(k+2)-n^k=0-0=0(mod 4)

Остаток в 2 невозможен так как k>1 одно целое число в степени выше первой не дает 2 в остатке

Доказательство для 3 анологично

Возможные остатки n^k: 0,1,2

В случае с остатком в 0 n^(k+2)-n^k=0-0=0(mod 3)

Если остаток 1 то n= 1,2(mod 3)

n^(k+2)-n^k=1;4-1=0(mod 3)

Если остаток 2 то n= 2(mod 3)

n^(k+2)-n^k=8-2=0(mod 3)

Раз уж число делиться на 4 и 3 то оно делится на 12

$n^{k+2}-n^k=n^k(n-1)(n+1)$

$(n-1),n,(n+1)$ - три последовательных числа, тогда $n^{k+2}-n^k \, \vdots \, 3$

Если $n$ - нечетное, то $(n-1)(n+1) \, \vdots \, 4$, если $n$ - четное, то $n^k \, \vdots \, 4$, тогда $n^{k+2}-n^k \, \vdots \, 4$.

Значит, $n^{k+2}-n^k \, \vdots \, 12$