Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс
Комментарий/решение:
Сначала докажем что она делиться на 4
Для этого представим все возможные остатки
n в степени k от деления на 4
Это 0,1,2,3
Если остаток 1 то n= 1;3 (mod 4)
Тогда n^(k+2)-n^k=1;9-1=0(mod 4)
В случае с остатком в 3 доказательство точно такое
В случае с остатком в 0 n^(k+2)-n^k=0-0=0(mod 4)
Остаток в 2 невозможен так как k>1 одно целое число в степени выше первой не дает 2 в остатке
Доказательство для 3 анологично
Возможные остатки n^k: 0,1,2
В случае с остатком в 0 n^(k+2)-n^k=0-0=0(mod 3)
Если остаток 1 то n= 1,2(mod 3)
n^(k+2)-n^k=1;4-1=0(mod 3)
Если остаток 2 то n= 2(mod 3)
n^(k+2)-n^k=8-2=0(mod 3)
Раз уж число делиться на 4 и 3 то оно делится на 12
$n^{k+2}-n^k=n^k(n-1)(n+1)$
$(n-1),n,(n+1)$ - три последовательных числа, тогда $n^{k+2}-n^k \, \vdots \, 3$
Если $n$ - нечетное, то $(n-1)(n+1) \, \vdots \, 4$, если $n$ - четное, то $n^k \, \vdots \, 4 $, тогда $n^{k+2}-n^k \, \vdots \, 4$.
Значит, $n^{k+2}-n^k \, \vdots \, 12$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.