қазақша
русскийЭйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Есеп №1. Үш спортшы арасы 3 км болатын ара қашықтықты жүгіріп өтті. Бірінші километрді олар тұрақты сәйкесінше $\vartheta_1$, $\vartheta_2$ және $\vartheta_3$ жылдамдықпен жүгірді ($\vartheta_1 > \vartheta_2 > \vartheta_3$). 1 км белгіден кейін олардың әрқайсысы жылдамдықтарын ауыстырды: біріншісі $\vartheta_1$-ден $\vartheta_2$-ге, екіншісі $\vartheta_2$-ден $\vartheta_3$-ке, үшіншісі $\vartheta_3$-тен $\vartheta_1$-ге. Спортшылардың қайсысы мәреге соңғы келді?
(
Н. Чернега
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Үш бір-біріне тең емес натурал $x$, $y$ және $z$ сандарды қолданып $\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}$ түрінде келтіруге болатын барлық натурал сандарды табыңыздар.
(
Д. Храмцов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Қатарға 100 тиын тізіп шыққан. Сырт жағынан барлық тиындар бірдей, бірақ бір жерде қатарынан 50 жалған тиын жатыр (және жалған тиындар тек солар). Барлық шын тиындардың салмақтары бірдей, ал жалған тиындардікі әр түрлі, бірақ шын тиыннан жеңіл. Табақты таразды қолданып тек бір өлшеу жасау арқылы кемінде 34 шын тиынды табуға болады ма?
(
Р. Женодаров,
О. Дмитриев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $M$ және $N$ нүктелері — $ABC$ үшбұрышының сәйкесінше $AK$ және $CL$ биссектрисаларының орталары. $\angle ABC=90^\circ $ теңдігі тек $\angle MBN=45^\circ$ болғанда және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдендер.
(
методкомиссия,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)