Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс

Задача №1. Квадратный трехчлен

$f (x) = ax^2 + bx + c$ таков, что многочлен

$(f(x))^3 - f (x)$ имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.
комментарий/решение(1)

Задача №2. В параллелограмме

$ABCD$ угол

$\angle B$ — тупой. Прямая

$АD$ пересекает окружность

$\omega$ , описанную около треугольника

$ABC$ , в точке

$E\ne A$ . Прямая

$CD$ пересекает окружность

$\omega$ в точке

$F\ne C$ . Докажите, что центр описанной окружности треугольника

$DEF$ лежит на

$\omega$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Натуральное число

$n > 1$ таково, что десятичная запись числа

$9997n$ содержит только нечетные цифры. Найдите минимальное возможное значение

$n$ .
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что

$x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ при

$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Натуральные числа

$a, b, c$ таковы, что числа

$\dfrac{{bc}}{{b + c}}, ~\dfrac{{ca}}{{c + a}},~ \dfrac{{ab}}{{a + b}}$ являются целыми. Докажите, что НОД

$(a, b, c)>1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Даны два множества

$B = \{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x + 2) + \log _2 (3^x - x) = 3^x - 1\}$ и

$A = \{ x \in \mathbb{R}|3^x = x + 2\}$ , где

$R$ — множество вещественных чисел. Докажите, что

$A \subset B$ и что множество

$B$ содержит как рациональные, так и иррациональные числа.
комментарий/решение