қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс
Задача №1. Квадратный трехчлен $f (x) = ax^2 + bx + c$ таков, что многочлен $(f(x))^3 - f (x)$ имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В параллелограмме $ABCD$ угол $\angle B$ — тупой. Прямая $АD$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $E\ne A$. Прямая $CD$ пересекает окружность $\omega$ в точке $F\ne C$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $DEF$ лежит на $\omega$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Натуральное число $n > 1$ таково, что десятичная запись числа $9997n$ содержит только нечетные цифры. Найдите минимальное возможное значение $n$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что $x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ при $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Натуральные числа $a, b, c$ таковы, что числа $\dfrac{{bc}}{{b + c}}, ~\dfrac{{ca}}{{c + a}},~ \dfrac{{ab}}{{a + b}}$ являются целыми. Докажите, что НОД$(a, b, c)>1$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Даны два множества $B = \{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x + 2) + \log _2 (3^x - x) = 3^x - 1\}$ и $A = \{ x \in \mathbb{R}|3^x = x + 2\}$, где $R$ — множество вещественных чисел. Докажите, что $A \subset B$ и что множество $B$ содержит как рациональные, так и иррациональные числа.
комментарий/решение
комментарий/решение