Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс

Натуральные числа $a, b, c$ таковы, что числа $\dfrac{{bc}}{{b + c}}, ~\dfrac{{ca}}{{c + a}},~ \dfrac{{ab}}{{a + b}}$ являются целыми. Докажите, что НОД$(a, b, c)>1$.

Комментарий/решение

Предположим, что наше условие верно. Тогда рассмотрим НОД (a,b,c) = 1. Он может в случае когда 1 число четное, а два других нечетные или все нечетные (естественно взаимно простые).

1) Допустим a чётное число, рассмотрим $\dfrac{ab}{a+b}$, тогда $a+b$ должно быть четным, а значит b обязана быть тоже четным числом, чтобы выполнялось условие целостности $\dfrac{ab}{a+b}$, противоречье а значит случай когда одно из чисел четное, невозможен.

2) Рассмотрим вариант, когда все числа нечетные, тогда $ab$ нечетное, а значит $a+b$ обязана быть нечетным, чтобы выполнялось условие целостности. Но выходит, что b в таком случае обязана быть четным. Противоречье.

Выходит, что НОД ${(a,b,c)} > 1$