Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

$(f(x))^3-f (x)$ көпммүшесінің дәл үш нақты түбірі болатындай

$f (x)=ax^2+bx+c$ квадрат үшмүшелігі берілген. Үшмүшеліктің графигінің төбесінің ординатасын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ бұрышы доғал болатынай

$ABCD$ параллелограмы берілген.

$AD$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$E$ нүктесінде қияды.

$CD$ түзуі

$\omega$ шеңберін екінші рет

$F$ нүктесінде қияды.

$DEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$\omega$ шеңберінде жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$9997n$ санының ондық жазбасында тек тақ цифрлар болатындай

$n > 1$ натурал сандары берілген.

$n$ санының мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4.

$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ үшін

$x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\dfrac{{bc}}{{b+c}}$ ,

$\dfrac{{ca}}{{c+a}}$ ,

$\dfrac{{ab}}{{a+b}}$ сандары бүтін болатындай

$a$ ,

$b$ ,

$c$ натурал сандары берілген. НОД

$(a, b, c) > 1$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$A=\{ x \in \mathbb{R}|3^x=x+2\}$ және

$B=\{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x+2)+\log _2 (3^x-x)=3^x-1\}$ екі жиыны берілген, мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.

$A \subset B$ және

$B$ жиыны рационал да иррационал да сандардан тұратынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение