қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. $(f(x))^3-f (x)$ көпммүшесінің дәл үш нақты түбірі болатындай $f (x)=ax^2+bx+c$ квадрат үшмүшелігі берілген. Үшмүшеліктің графигінің төбесінің ординатасын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ бұрышы доғал болатынай $ABCD$ параллелограмы берілген. $AD$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $E$ нүктесінде қияды. $CD$ түзуі $\omega$ шеңберін екінші рет $F$ нүктесінде қияды. $DEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $\omega$ шеңберінде жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $9997n$ санының ондық жазбасында тек тақ цифрлар болатындай $n > 1$ натурал сандары берілген. $n$ санының мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ үшін $x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\dfrac{{bc}}{{b+c}}$, $\dfrac{{ca}}{{c+a}}$, $\dfrac{{ab}}{{a+b}}$ сандары бүтін болатындай $a$, $b$, $c$ натурал сандары берілген. НОД$(a, b, c) > 1$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $A=\{ x \in \mathbb{R}|3^x=x+2\}$ және
$B=\{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x+2)+\log _2 (3^x-x)=3^x-1\}$ екі жиыны берілген, мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. $A \subset B$ және $B$ жиыны рационал да иррационал да сандардан тұратынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение