Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс
Квадратный трехчлен f(x)=ax2+bx+c таков, что многочлен (f(x))3−f(x) имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(f(x))3−f(x)=(ax2+bx+c)(ax2+bx+c−1)(ax2+bx+c+1)=0
Многочлен будет иметь три вещественных корня , когда одно из квадратных уравнений будет иметь одно решение, и два других. Подходит случаи , пусть c>0, тогда a>0 из b2=4ac для остальных 4ac−4a(c−1)>0⇒a>0,4ac−4a(c+1)⇒a<0 , то есть 3 решения , для случая c<0 , a<0 так же 3 решения , значит y=−b2−4ac4a=0 , то есть ответ 0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.