Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс

Квадратный трехчлен $f (x) = ax^2 + bx + c$ таков, что многочлен $(f(x))^3 - f (x)$ имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.

Комментарий/решение

$(f(x))^3-f(x)=(ax^2+bx+c)(ax^2+bx+c-1)(ax^2+bx+c+1)=0$

Многочлен будет иметь три вещественных корня , когда одно из квадратных уравнений будет иметь одно решение, и два других. Подходит случаи , пусть $c>0$, тогда $a>0$ из $b^2=4ac$ для остальных $4ac-4a(c-1)>0 \Rightarrow a>0 ,4ac-4a(c+1) \Rightarrow a<0$ , то есть $3$ решения , для случая $c<0$ , $a<0$ так же $3$ решения , значит $y=-\dfrac{b^2-4ac}{4a} =0$ , то есть ответ $0$.