Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ бұрышы доғал болатынай $ABCD$ параллелограмы берілген. $AD$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $E$ нүктесінде қияды. $CD$ түзуі $\omega$ шеңберін екінші рет $F$ нүктесінде қияды. $DEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $\omega$ шеңберінде жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Из условия следует что $CD=CE$ и $AD=AF$ значит срединные перпендикуляры к $DE,FD$ пересекающиеся в точке $O$ (центр описанной окружности треугольника $DEF$) проходят через вершины $C,A$ соответственно, если $H,G$ середины $DE,DF$ то $DFOG$ вписанный или $\angle HOG = 180-\angle ABC$ откуда и следует утверждение.