46-я Международная Математическая Oлимпиада<br>Мексика, Мериде, 2005 год

46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год

Задача №1. На сторонах равностороннего треугольника

A B C

$ABC$ выбраны шесть точек:

A_{1}

${{A}_{1}}$ и

A_{2}

${{A}_{2}}$ на

B C

$BC$ ;

B_{1}

${{B}_{1}}$ и

B_{2}

${{B}_{2}}$ на

C A

$CA$ ;

C_{1}

${{C}_{1}}$ и

C_{2}

${{C}_{2}}$ на

A B

$AB$ . Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника

A_{1} A_{2} B_{1} B_{2} C_{1} C_{2}

${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ , стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые

A_{1} B_{2}

${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ ,

B_{1} C_{2}

${{B}_{1}}{{C}_{2}}$ и

C_{1} A_{2}

${{C}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

a_{1}

${{a}_{1}}$ ,

a_{2}

${{a}_{2}}$ ,

\dots

$\ldots$ ,

a_{n}

${{a}_{n}}$ ,

\dots

$\ldots$ — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального

n

$n$ все

n

$n$ остатков от деления

a_{1}

${{a}_{1}}$ ,

a_{2}

${{a}_{2}}$ ,

\dots

$\ldots$ ,

a_{n}

${{a}_{n}}$ на число

n

$n$ различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

x, y, z

$x,y,z$ — такие положительные числа, что

x y z > 1

$xyz > 1$ . Докажите, что

\frac{x^{5} - x^{2}}{x^{5} + y^{2} + z^{2}} + \frac{y^{5} - y^{2}}{x^{2} + y^{5} + z^{2}} + \frac{z^{5} - z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{5}} \geq 0.

$\dfrac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{5}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{5}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{5}}-{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{5}}}\ge 0.$
комментарий/решение(4)

Задача №4. Последовательность

a_{1}

${{a}_{1}}$ ,

a_{2}

${{a}_{2}}$ ,

\dots

$\ldots$ определена следующим образом:

a_{n} = 2^{n} + 3^{n} + 6^{n} - 1

${{a}_{n}}={{2}^{n}}+{{3}^{n}}+{{6}^{n}}-1$ (

n = 1, 2, \dots

$n=1,2,\ldots$ ). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан выпуклый четырехугольник

A B C D

$ABCD$ , стороны

B C

$BC$ и

A D

$AD$ которого равны, но не параллельны. Пусть

E

$E$ и

F

$F$ — такие внутренние точки отрезков

B C

$BC$ и

A D

$AD$ соответственно, что

B E = D F

$BE=DF$ . Прямые

A C

$AC$ и

B D

$BD$ пересекаются в точке

P

$P$ , прямые

B D

$BD$ и

E F

$EF$ пересекаются в точке

Q

$Q$ , прямые

E F

$EF$ и

A C

$AC$ пересекаются в точке

R

$R$ . Рассмотрим треугольники

P Q R

$PQR$ , получаемые для всех таких точек

E

$E$ и

F

$F$ . Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от

P

$P$ .
комментарий/решение(3)

Задача №6. На математической олимпиаде участникам были предложены 6 задач. Оказалось, что каждую пару задач решили более чем

\frac{2}{5}

$\dfrac{2}{5}$ от общего числа участников, но никто не решил все 6 задач. Докажите, что найдутся по крайней мере два участника, каждый из которых решил ровно 5 задач.
комментарий/решение

результаты

46-я Международная Математическая OлимпиадаМексика, Мериде, 2005 год

46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год