46-я Международная Математическая OлимпиадаМексика, Мериде, 2005 год

Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$, $\ldots$ — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального $n$ все $n$ остатков от деления ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ на число $n$ различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.

Комментарий/решение

Пусть $a_k=a_j \Longrightarrow a_k=a_j=na+b \equiv b \pmod n$ $\longrightarrow \varnothing$