46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год

Задача №1.  На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ выбраны шесть точек: ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$ на $BC$; ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ на $CA$; ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ на $AB$. Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$, стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$, ${{B}_{1}}{{C}_{2}}$ и ${{C}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$, $\ldots$ — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального $n$ все $n$ остатков от деления ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ на число $n$ различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.
комментарий/решение

---

Задача №3.  Пусть $x,y,z$ — такие положительные числа, что $xyz > 1$. Докажите, что $\dfrac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{5}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{5}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{5}}-{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{5}}}\ge 0.$
комментарий/решение(4)

---

Задача №4.  Последовательность ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$ определена следующим образом: ${{a}_{n}}={{2}^{n}}+{{3}^{n}}+{{6}^{n}}-1$ ($n=1,2,\ldots$). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, стороны $BC$ и $AD$ которого равны, но не параллельны. Пусть $E$ и $F$ — такие внутренние точки отрезков $BC$ и $AD$ соответственно, что $BE=DF$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, прямые $BD$ и $EF$ пересекаются в точке $Q$, прямые $EF$ и $AC$ пересекаются в точке $R$. Рассмотрим треугольники $PQR$, получаемые для всех таких точек $E$ и $F$. Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от $P$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  На математической олимпиаде участникам были предложены 6 задач. Оказалось, что каждую пару задач решили более чем $\dfrac{2}{5}$ от общего числа участников, но никто не решил все 6 задач. Докажите, что найдутся по крайней мере два участника, каждый из которых решил ровно 5 задач.
комментарий/решение

---