46-я Международная Математическая OлимпиадаМексика, Мериде, 2005 год

Последовательность ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $ определена следующим образом: ${{a}_{n}}={{2}^{n}}+{{3}^{n}}+{{6}^{n}}-1$ ($n=1,2,\ldots $). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.

Комментарий/решение

$Ответ:m=1$. Пусть это число $m$,$(m,a_n)=1$.

И пусть $p>3$ это любое простое число. Если $(k,p)=1$ для какого-то целого $k$ то $k^{p-2}\equiv k^{-1}\pmod {p}$ по малой теореме Ферма.

То есть $a_{p-2}=2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1\equiv \dfrac {1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}-1\equiv {0}\pmod{p}$.

Тогда для $m>1$ всегда найдется такой $n$ что $gcd(m,a_n)≥p$ (здесь $p$ какой-то простой делитель $m)$. Значит ответы: $m=1$.