46-я Международная Математическая OлимпиадаМексика, Мериде, 2005 год

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ выбраны шесть точек: ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$ на $BC$; ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ на $CA$; ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ на $AB$. Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$, стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$, ${{B}_{1}}{{C}_{2}}$ и ${{C}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

$I$ такая точка что:

$$\vec{IA_1}=\vec{C_1C_2}$$

Заметим что $IA_1A_2$ и $IB_2C_1$ равносторние

Значит

$$IA_1=IA_2=IC_1=IB_2$$

$A_1A_2B_2C_1$ вписанный

$$\angle A_1C_1A_2=\frac{1}{2}%ошибка. "УГОЛ" - плохая команда. А_1ИА_2=30$$ и $$\angle C_1A_1B_2=\frac{1}{2}%Error. "УГОЛ" - плохая команда. C_1IB_2=30$$

Из ччего $B_1B_2C_2A_1$ вписанный

$$\angle A_1B_1C_2=\angle B_1A_1B_2=30$$

$C_1C_2A_2B_1$ вписанный

$$\angle C_1B_1C_2=\angle B_1C_1A_2=30$$ Следовательно

$A_1B_2,B_1C_2,C_1A_2$ биссектрисы

По свойствам треугольника биссектрисы пересекаются в одной точке

Ч.т.д.

$$C_2B_1\cup A_2C_1=D_1;ㅤㅤA_2C_1\cup B_2A_1=D_2;ㅤㅤB_2A_1\cup C_2B_1=D_3.$$

$$\angle C_2D_1C_1+\angle C_1D_2B_2+\angle B_1D_3B_2=180^\circ-\angle B_1C_2C_1-\angle A_2C_1C_2+180^\circ-\angle A_2C_1B_2-\angle A_1B_2C_1+180-\angle A_1B_2B_1-\angle C_2B_1B_2=180$$ $$D_1=D_2=D_3ㅤ\blacksquare$$