Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год


На сторонах равностороннего треугольника ABC выбраны шесть точек: A1 и A2 на BC; B1 и B2 на CA; C1 и C2 на AB. Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника A1A2B1B2C1C2, стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые A1B2, B1C2 и C1A2 пересекаются в одной точке.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 3 месяца назад #

I такая точка что:

IA1=C1C2

Заметим что IA1A2 и IB2C1 равносторние

Значит

IA1=IA2=IC1=IB2

A1A2B2C1 вписанный

A1C1A2=12 и C1A1B2=12

Из ччего B1B2C2A1 вписанный

A1B1C2=B1A1B2=30

C1C2A2B1 вписанный

C1B1C2=B1C1A2=30 Следовательно

A1B2,B1C2,C1A2 биссектрисы

По свойствам треугольника биссектрисы пересекаются в одной точке

Ч.т.д.