46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год
На сторонах равностороннего треугольника ABC выбраны шесть точек: A1 и A2 на BC; B1 и B2 на CA; C1 и C2 на AB. Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника A1A2B1B2C1C2, стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые A1B2, B1C2 и C1A2 пересекаются в одной точке.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
I такая точка что:
→IA1=→C1C2
Заметим что IA1A2 и IB2C1 равносторние
Значит
IA1=IA2=IC1=IB2
A1A2B2C1 вписанный
∠A1C1A2=12 и ∠C1A1B2=12
Из ччего B1B2C2A1 вписанный
∠A1B1C2=∠B1A1B2=30
C1C2A2B1 вписанный
∠C1B1C2=∠B1C1A2=30 Следовательно
A1B2,B1C2,C1A2 биссектрисы
По свойствам треугольника биссектрисы пересекаются в одной точке
Ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.