Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 46-шы халықаралық олимпиада, 2005 жыл, Мериде


ABC теңқабырғалы үшбұрышының қабырғаларынан алты нүкте алынған: BC қабырғасында A1 және A2; CA қабырғасында B1 және B2; AB қабырғасында C1 және C2. Бұл нүктелер қабырғаларының ұзындықтары әр түрлі болатын A1A2B1B2C1C2 дөңес алтыбұрыштың төбелері болады. A1B2, B1C2 және C1A2 түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 3 месяца назад #

I такая точка что:

IA1=C1C2

Заметим что IA1A2 и IB2C1 равносторние

Значит

IA1=IA2=IC1=IB2

A1A2B2C1 вписанный

A1C1A2=12 и C1A1B2=12

Из ччего B1B2C2A1 вписанный

A1B1C2=B1A1B2=30

C1C2A2B1 вписанный

C1B1C2=B1C1A2=30 Следовательно

A1B2,B1C2,C1A2 биссектрисы

По свойствам треугольника биссектрисы пересекаются в одной точке

Ч.т.д.

  1
17 часов 17 минут назад #

C2B1A2C1=D1;A2C1B2A1=D2;B2A1C2B1=D3.

C2D1C1+C1D2B2+B1D3B2=180B1C2C1A2C1C2+180A2C1B2A1B2C1+180A1B2B1C2B1B2=180 D1=D2=D3