Математикадан 46-шы халықаралық олимпиада, 2005 жыл, Мериде
ABC теңқабырғалы үшбұрышының қабырғаларынан алты нүкте алынған: BC қабырғасында A1 және A2; CA қабырғасында B1 және B2; AB қабырғасында C1 және C2. Бұл нүктелер қабырғаларының ұзындықтары әр түрлі болатын A1A2B1B2C1C2 дөңес алтыбұрыштың төбелері болады. A1B2, B1C2 және C1A2 түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
I такая точка что:
→IA1=→C1C2
Заметим что IA1A2 и IB2C1 равносторние
Значит
IA1=IA2=IC1=IB2
A1A2B2C1 вписанный
∠A1C1A2=12 и ∠C1A1B2=12
Из ччего B1B2C2A1 вписанный
∠A1B1C2=∠B1A1B2=30
C1C2A2B1 вписанный
∠C1B1C2=∠B1C1A2=30 Следовательно
A1B2,B1C2,C1A2 биссектрисы
По свойствам треугольника биссектрисы пересекаются в одной точке
Ч.т.д.
C2B1∪A2C1=D1;ㅤㅤA2C1∪B2A1=D2;ㅤㅤB2A1∪C2B1=D3.
∠C2D1C1+∠C1D2B2+∠B1D3B2=180∘−∠B1C2C1−∠A2C1C2+180∘−∠A2C1B2−∠A1B2C1+180−∠A1B2B1−∠C2B1B2=180 D1=D2=D3ㅤ◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.