Математикадан 46-шы халықаралық олимпиада, 2005 жыл, Мериде

Есеп №1.

$ABC$ теңқабырғалы үшбұрышының қабырғаларынан алты нүкте алынған:

$BC$ қабырғасында

${{A}_{1}}$ және

${{A}_{2}}$ ;

$CA$ қабырғасында

${{B}_{1}}$ және

${{B}_{2}}$ ;

$AB$ қабырғасында

${{C}_{1}}$ және

${{C}_{2}}$ . Бұл нүктелер қабырғаларының ұзындықтары әр түрлі болатын

${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ дөңес алтыбұрыштың төбелері болады.

${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ ,

${{B}_{1}}{{C}_{2}}$ және

${{C}_{1}}{{A}_{2}}$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Құрамында оң мүшелері де, теріс мүшелері де шексіз көп кездесетін

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ ,

$\ldots$ бүтін сандар тізбегі берілген. Әрбір

$n$ натурал саны үшін

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ сандарын

$n$ санына бөлгенде пайда болған

$n$ бөлгіштер әр түрлі. Бұл тізбекте әрбір бүтін сан дәл бір реттен кездесетінен дәлелеңіздер.
комментарий/решение(5)

Есеп №3.

$xyz > 1$ болатын

$x,y,z$ нақты сандар болсын.

$\dfrac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{5}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{5}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{5}}-{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{5}}}\ge 0$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ тізбегі төмендегідей анықталған:

${{a}_{n}}={{2}^{n}}+{{3}^{n}}+{{6}^{n}}-1$ (

$n=1,2,\ldots$ ). Осы тізбектің әрбір мүшесімен өзара жай болатын барлық натурал сандарды табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$BC$ және

$AD$ қабырғалары тең, бірақ параллель болмайтын

$ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген.

$E$ және

$F$ нүктелері

$BE=DF$ болатындай сәйкесінше

$BC$ және

$AD$ кесінділеріндегі нүктелер болсын.

$AC$ және

$BD$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады,

$BD$ және

$EF$ түзулері

$Q$ нкүтесінде,

$EF$ және

$AC$ түзулері

$R$ нүктесінде қиылысады. Барлық

$E$ және

$F$ нүктелерінен алынатын

$PQR$ үшбұрыштарын қарастырайық. Осы үшбұрыштардың барлығына сырттай сызылған шеңберлердің

$P$ -- дан өзге ортақ бір нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Математикалық олимпадада оқушыларға 6 есеп берілді. Әрбір есеп жұбы үшін барлық оқушының

$\frac{2}{5}$ --ден көбі шығарды, бірақ ешкім толық 6 есепті шығармады. Дәл 5 есеп шығарған кем дегенде екі оқушы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты