Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год


Пусть x,y,z — такие положительные числа, что xyz>1. Докажите, что x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   2
4 года назад #

Теңсіздікті келесідей түрлендіреміз:

x5−x2x5+y2+z2−x5−x2x3(x2+y2+z2)=(x5−x2)⋅x3(x2+y2+z2)−(x5−x2)(x5+y2+z2)x3(x2+y2+z2)(x5+y2+z2)=x2(x3−1)(x5+x3y2+x3y2−x5−y2−z2)x3(x2+y2+z2)(x5+y2+z2)=x2(x3−1)(y2(x3−1)+z2(x3−1))x3(x2+y2+z2)(x5+y2+z2)=x2(x3−1)2(y2+z2)x3(x2+y2+z2)(x5+y2+z2)≥0.

Cондықтан:

x5−x2x5+y2+z2≥x5−x2x3(x2+y2+z2)≥x5−x2⋅xyzx3(x2+y2+z2)=x2−yz(x2+y2+z2).

Қалған екеуі үшін де осылай түрлендіру жасаймыз: y5−y2x2+y5+z2≥y2−zxx2+y2+z2 және z5−z2x2+y2+z5≥z2−xyx2+y2+z2.

Пайда болған теңсіздіктерді қоссақ: x5−x2x5+y2+z2+y5−x2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥x2+y2+z2−xy−yz−zxx2+y2+z2≥0.

x2+y2+z2−xy−yz−zx≥0 теңсіздігін дәлелдесек: екі жағын 2-ге көбейтеміз:

(x2+y2)+(y2+z2)+(x2+x2)−2xy−2yz−2xz≥0.

(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2≥0.

Merey
  4
4 года назад #

Решение: Заметим, что условие равносильно с неравенством

∑x2+y2+z2x5+y2+z2≤3,

с другой стороны из КБШ: (x5+y2+z2)(1x+y2+z2)≥(x2+y2+z2)2⟺x2+y2+z2x5+y2+z2≤1x+y2+z2x2+y2+z2, откуда

∑x2+y2+z2x5+y2+z2≤∑1x+y2+z2x2+y2+z2=1x+1y+1zx2+y2+z2+2=xy+yz+zxxyz(x2+y2+z2)+2≤x2+y2+z2xyz(x2+y2+z2)+2≤1+2=3. ◻

ASDF
  1
4 года назад #

Отличное решение!

Mopsichek
  1
9 месяца 3 дней назад #

Пожалуйста, исправьте здесь xyz>1 на xyz≥1, а то я никогда не смогу обрести покой в этой жизни...

Mopsichek