Математикадан 38-ші халықаралық олимпиада, 1997 жыл, Мар-дель-Плата

Есеп №1. Координата жазықтығы төбелері бүтін санды координаталар болатын бірлік квадраттарға бөлінген. Квадраттар шахмат ретімен ақ және қара түстерге боялған. Әрбір

$m$ және

$n$ натурал сандар жұптары үшін катеттері координат остеріне параллель және ұзындықтары

$m$ және

$n$ болатын, төбелері бүтін санды координаталарда жататын тікбұрышты үшбұрыштар қарастырылады. Қара түспен боялған үшбұрыш бөліктерінің аудандарының қосындысы

${{S}_{1}}$ болсын, ал ақ түске боялған үшбұрыш бөліктерінің аудандарының қосындысы

${{S}_{2}}$ болсын.

$f\left( m,n \right)=\left| {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right|$ болсын.
а) Жұптығы бірдей болатын

$m$ және

$n$ сандары үшін

$f\left( m,n \right)$ есептеңіздер.
б) Кез келген

$m$ және

$n$ сандары үшін

$f\left( m,n \right)\le \dfrac{1}{2}\max \left\{ m,n \right\}$ дәлелдеңіздер.
в) Кез келген

$m$ және

$n$ сандары үшін

$f\left( m,n \right) < C$ орындалатындай

$C$ саны табылмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2.

$A$ бұрышы

$ABC$ үшбұрышындағы ең кіші бұрыш. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің

$BC$ доғасының

$A$ нүктесі жатпайтын бөлігінен

$U$ нүктесі алынған.

$AB$ және

$AC$ кесінділеріне түсірілген орта перпендикулярлар

$AU$ түзуін сәйкесінше

$V$ және

$W$ нүктелерінде қияды.

$BV$ және

$CW$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылысады.

$AU=TB+TC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Барлық

$i=1,2,\ldots ,n$ үшін

$\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots {{x}_{n}} \right|=1$ және

$\left| {{x}_{i}} \right|\le \dfrac{n+1}{2}$ орындалатындай

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ нақты сандары берілсін.

$\left| {{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+\ldots n{{y}_{n}} \right|\le \dfrac{n+1}{2}$ орындалатындай

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандарының

${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ орын ауыстырулары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Әрбір

$i=1,2,\ldots ,n$ үшін

$i$ -ші қатар мен

$j$ -ші бағанды біріктіргенде

$S$ жиынының барлық элементі шығатын, әрбір торына

$S=\left\{ 1,2,\ldots ,2n-1 \right\}$ жиынының сандарының бірі жазылған

$n\times n$ кестесін күміс кесте деп атайды.
а)

$n=1997$ үшін күміс кесте табылмайтынын дәлелдеңіздер.
б)Шексіз

$n$ натурал сандар жиыны үшін күміс кестелер табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №5.

${{a}^{{{b}^{2}}}}={{b}^{a}}$ орындалатындай барлық

$\left( a,b \right)$ натурал сандар жұбын табыңыздар.
комментарий/решение(4)

Есеп №6. Әрбір

$n$ натурал сандары үшін

$f\left( n \right)$ арқылы

$n$ санын екінің теріс емес бүтін санды дәрежелерінің қосындысы ретінде өрнектеу санын белгілейміз. (Қосылғыштардың тек реті өзгеретін өрнектер бірдей деп есептеледі.) Мысалға,

$f\left( 4 \right)=4$ . Себебі, 4 саны

$4$ ,

$2+2$ ,

$2+1+1$ ,

$1+1+1+1$ төрт түрде ғана өрнектеледі. Кез келген

$n\ge 3$ натурал сандары үшін

${{2}^{\frac{{{n}^{2}}}{4}}} < f\left( {{2}^{n}} \right) < {{2}^{\frac{{{n}^{2}}}{2}}}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты