Математикадан 38-ші халықаралық олимпиада, 1997 жыл, Мар-дель-Плата

Есеп №1. Координата жазықтығы төбелері бүтін санды координаталар болатын бірлік квадраттарға бөлінген. Квадраттар шахмат ретімен ақ және қара түстерге боялған. Әрбір $m$ және $n$ натурал сандар жұптары үшін катеттері координат остеріне параллель және ұзындықтары $m$ және $n$ болатын, төбелері бүтін санды координаталарда жататын тікбұрышты үшбұрыштар қарастырылады. Қара түспен боялған үшбұрыш бөліктерінің аудандарының қосындысы ${{S}_{1}}$ болсын, ал ақ түске боялған үшбұрыш бөліктерінің аудандарының қосындысы ${{S}_{2}}$ болсын. $f\left( m,n \right)=\left| {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right|$ болсын.
а) Жұптығы бірдей болатын $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( m,n \right)$ есептеңіздер.
б) Кез келген $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( m,n \right)\le \dfrac{1}{2}\max \left\{ m,n \right\}$ дәлелдеңіздер.
в) Кез келген $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( m,n \right) < C$ орындалатындай $C$ саны табылмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №2. $A$ бұрышы $ABC$ үшбұрышындағы ең кіші бұрыш. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $BC$ доғасының $A$ нүктесі жатпайтын бөлігінен $U$ нүктесі алынған. $AB$ және $AC$ кесінділеріне түсірілген орта перпендикулярлар $AU$ түзуін сәйкесінше $V$ және $W$ нүктелерінде қияды.$BV$ және $CW$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $AU=TB+TC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Барлық $i=1,2,\ldots ,n$ үшін $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots {{x}_{n}} \right|=1$ және $\left| {{x}_{i}} \right|\le \dfrac{n+1}{2}$ орындалатындай ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ нақты сандары берілсін. $\left| {{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+\ldots n{{y}_{n}} \right|\le \dfrac{n+1}{2}$ орындалатындай ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандарының ${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ орын ауыстырулары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Әрбір $i=1,2,\ldots ,n$ үшін $i$-ші қатар мен $j$-ші бағанды біріктіргенде $S$ жиынының барлық элементі шығатын, әрбір торына $S=\left\{ 1,2,\ldots ,2n-1 \right\}$ жиынының сандарының бірі жазылған $n\times n$ кестесін күміс кесте деп атайды.
а) $n=1997$ үшін күміс кесте табылмайтынын дәлелдеңіздер.
б)Шексіз $n$ натурал сандар жиыны үшін күміс кестелер табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. ${{a}^{{{b}^{2}}}}={{b}^{a}}$ орындалатындай барлық $\left( a,b \right)$ натурал сандар жұбын табыңыздар.
комментарий/решение(4)

---

Есеп №6. Әрбір $n$ натурал сандары үшін $f\left( n \right)$ арқылы $n$ санын екінің теріс емес бүтін санды дәрежелерінің қосындысы ретінде өрнектеу санын белгілейміз. (Қосылғыштардың тек реті өзгеретін өрнектер бірдей деп есептеледі.) Мысалға, $f\left( 4 \right)=4$. Себебі, 4 саны $4$, $2+2$, $2+1+1$, $1+1+1+1$ төрт түрде ғана өрнектеледі. Кез келген $n\ge 3$ натурал сандары үшін $${{2}^{\frac{{{n}^{2}}}{4}}} < f\left( {{2}^{n}} \right) < {{2}^{\frac{{{n}^{2}}}{2}}}$$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---