38-я Международная Математическая OлимпиадаАргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год

Координатная плоскость разделена на единичные квадраты с вершинами в точках с целочисленными координатами. Квадраты раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке. Для каждой пары натуральных чисел $m$ и $n$ рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в точках с целочисленными координатами, катеты которого параллельны осям координат и имеют длину $m$ и $n$. Пусть ${{S}_{1}}$ — суммарная площадь окрашенной черным части треугольника, а ${{S}_{2}}$ — суммарная площадь части, окрашенной белым. Пусть $f\left( m,n \right)=\left| {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right|$.
а) Вычислите $f\left( m,n \right)$ для чисел $m$ и $n$ одной четности.
б) Докажите, что $f\left( m,n \right)\le \dfrac{1}{2}\max \left\{ m,n \right\}$ для любых $m$ и $n$.
в) Докажите, что не существует такого числа $C$, что $f\left( m,n \right) < C$ для любых $m$ и $n$.