38-я Международная Математическая Oлимпиада
Аргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год
Координатная плоскость разделена на единичные квадраты с вершинами в точках с целочисленными координатами. Квадраты раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке. Для каждой пары натуральных чисел m и n рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в точках с целочисленными координатами, катеты которого параллельны осям координат и имеют длину m и n. Пусть S1 — суммарная площадь окрашенной черным части треугольника, а S2 — суммарная площадь части, окрашенной белым. Пусть f(m,n)=|S1−S2|.
а) Вычислите f(m,n) для чисел m и n одной четности.
б) Докажите, что f(m,n)≤12max{m,n} для любых m и n.
в) Докажите, что не существует такого числа C, что f(m,n)<C для любых m и n.
посмотреть в олимпиаде
а) Вычислите f(m,n) для чисел m и n одной четности.
б) Докажите, что f(m,n)≤12max{m,n} для любых m и n.
в) Докажите, что не существует такого числа C, что f(m,n)<C для любых m и n.
Комментарий/решение:
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.