38-я Международная Математическая Oлимпиада
Аргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год

Задача №1.  Координатная плоскость разделена на единичные квадраты с вершинами в точках с целочисленными координатами. Квадраты раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке. Для каждой пары натуральных чисел $m$ и $n$ рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в точках с целочисленными координатами, катеты которого параллельны осям координат и имеют длину $m$ и $n$. Пусть ${{S}_{1}}$ — суммарная площадь окрашенной черным части треугольника, а ${{S}_{2}}$ — суммарная площадь части, окрашенной белым. Пусть $f\left( m,n \right)=\left| {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right|$.
а) Вычислите $f\left( m,n \right)$ для чисел $m$ и $n$ одной четности.
б) Докажите, что $f\left( m,n \right)\le \dfrac{1}{2}\max \left\{ m,n \right\}$ для любых $m$ и $n$.
в) Докажите, что не существует такого числа $C$, что $f\left( m,n \right) < C$ для любых $m$ и $n$.
комментарий/решение

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$ угол $A$ наименьший. Пусть $U$ — точка на той дуге $BC$ описанной около треугольника окружности, которая не содержит точку $A$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $AB$ и $AC$ пересекают прямую $AU$ в точках $V$ и $W$ соответственно. Прямые $BV$ и $CW$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $AU=TB+TC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ — такие действительные числа, что $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots {{x}_{n}} \right|=1$ и $\left| {{x}_{i}} \right|\le \dfrac{n+1}{2}$ для всех $i=1,2,\ldots ,n$. Докажите, что существует такая перестановка ${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{n}}$ чисел ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ что $\left| {{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+\ldots n{{y}_{n}} \right|\le \dfrac{n+1}{2}$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Таблица $n\times n$, в каждой клетке которой записано одно из чисел множества $S=\left\{ 1,2,\ldots ,2n-1 \right\}$ называется серебряной, если для каждого $i=1,2,\ldots ,n$ в объединении $i$-й строки и $j$-го столбца содержатся все элементы множества $S$. Докажите, что:
а) не существует серебряной таблицы для $n=1997$;
б) серебряные таблицы существуют для бесконечного множества натуральных чисел $n$.
комментарий/решение

---

Задача №5.  Найдите все пары $\left( a,b \right)$ натуральных чисел такие, что ${{a}^{{{b}^{2}}}}={{b}^{a}}$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №6.  Для каждого натурального $n$ через $f\left( n \right)$ обозначим количество различных представлений числа $n$ в виде суммы степеней двойки с целыми неотрицательными показателями. (Представления, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.) Например, $f\left( 4 \right)=4$, так как число 4 может быть представлено следующими четырьмя способами: $4$; $2+2$; $2+1+1$; $1+1+1+1$. Докажите, что для любого натурального $n\ge 3$ выполнено неравенство $${{2}^{\dfrac{{{n}^{2}}}{4}}} < f\left( {{2}^{n}} \right) < {{2}^{\dfrac{{{n}^{2}}}{2}}}.$$
комментарий/решение

---