38-я Международная Математическая Oлимпиада
Аргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год
В треугольнике ABC угол A наименьший. Пусть U — точка на той дуге BC описанной около треугольника окружности, которая не содержит точку A. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC пересекают прямую AU в точках V и W соответственно. Прямые BV и CW пересекаются в точке T. Докажите, что AU=TB+TC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
V лежит на серединном перпендикуляре AB поэтому VB=VA,∠VAB=∠VBA . Аналогично WA=WC,∠WAC=∠WCA.
Пусть CW∩(ABC)=D .Тогда ∠BDT=∠BAV+∠CAV=∠VBA+∠WCA=∠VBA+∠ABD=∠VBD=∠TBD. Значит∠BDT=∠TBD , то есть TB=TD . Также ∠DCA=∠DUA=∠CAU=∠CDU. Выходит ∠CDU=∠DUA⇒∠∠WDU=∠DUW⇒WU=WD .
WU=WD,WA=WC⇒AW+WU=CW+WD⇒AU=CD
AU=CW+WD=CW+WT+TD=CW+WT+TB=CT+TB
Получается AU=TB+TC ч.т.д
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.