Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

38-я Международная Математическая Oлимпиада
Аргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год


В треугольнике ABC угол A наименьший. Пусть U — точка на той дуге BC описанной около треугольника окружности, которая не содержит точку A. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC пересекают прямую AU в точках V и W соответственно. Прямые BV и CW пересекаются в точке T. Докажите, что AU=TB+TC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
1 года 2 месяца назад #

V лежит на серединном перпендикуляре AB поэтому VB=VA,VAB=VBA . Аналогично WA=WC,WAC=WCA.

Пусть CW(ABC)=D .Тогда BDT=BAV+CAV=VBA+WCA=VBA+ABD=VBD=TBD. ЗначитBDT=TBD , то есть TB=TD . Также DCA=DUA=CAU=CDU. Выходит CDU=DUAWDU=DUWWU=WD .

WU=WD,WA=WCAW+WU=CW+WDAU=CD

AU=CW+WD=CW+WT+TD=CW+WT+TB=CT+TB

Получается AU=TB+TC ч.т.д