Математикадан 38-ші халықаралық олимпиада, 1997 жыл, Мар-дель-Плата

$A$ бұрышы $ABC$ үшбұрышындағы ең кіші бұрыш. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $BC$ доғасының $A$ нүктесі жатпайтын бөлігінен $U$ нүктесі алынған. $AB$ және $AC$ кесінділеріне түсірілген орта перпендикулярлар $AU$ түзуін сәйкесінше $V$ және $W$ нүктелерінде қияды.$BV$ және $CW$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $AU=TB+TC$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$V$ лежит на серединном перпендикуляре $AB$ поэтому $VB=VA , \angle VAB = \angle VBA$ . Аналогично $WA=WC , \angle WAC = \angle WCA$.

Пусть $CW \cap (ABC) = D$ .Тогда $ \angle BDT = \angle BAV + \angle CAV = \angle VBA + \angle WCA = \angle VBA + \angle ABD = \angle VBD = \angle TBD$. Значит$ \angle BDT = \angle TBD$ , то есть $TB=TD$ . Также $\angle DCA = \angle DUA = \angle CAU = \angle CDU.$ Выходит $\angle CDU = \angle DUA \Rightarrow \angle \angle WDU = \angle DUW \Rightarrow WU=WD$ .

$WU=WD , WA=WC \Rightarrow AW+WU = CW+WD \Rightarrow AU = CD$

$ AU=CW+WD= CW + WT + TD = CW+WT+TB=CT+TB$

Получается $ AU = TB+TC$ ч.т.д