Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

Задача №1. Сколько шестибуквенных слов можно составить из букв М, Е, Д, А, Л, Ь, в которых хотя бы одна буква встречается более одного раза?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Для всякой конечной арифметической прогрессии

${{a}_{0}}$ ,

${{a}_{1}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ докажите равенство

$\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}{{a}_{k}}}=0$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ на диагонали

$AC$ отмечена точка

$M$ . Через точку

$M$ проведены прямые

${{l}_{1}}$ и

${{l}_{2}}$ такие, что

${{l}_{1}} \parallel AB$ и

${{l}_{2}} \parallel CD$ . Положим

$P$ — точка пересечения

${{l}_{1}}$ и

$CB$ ,

$Q$ — точка пересечения прямой

${{l}_{2}}$ и

$AD$ . Докажите, что середина отрезка

$PQ$ лежит на

$FE$ , где

$F$ — середина

$DC$ ,

$E$ — середина

$AB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что если целые положительные числа

${{n}_{1}}$ ,

${{n}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{n}_{k}}$ удовлетворяют следующим соотношениям:

${{n}_{1}}|{{2}^{{{n}_{2}}}}-1$ ,

${{n}_{2}}|{{2}^{{{n}_{3}}}}-1$ ,

$\ldots$ ,

${{n}_{k}}|{{2}^{{{n}_{1}}}}-1$ , то

${{n}_{1}}={{n}_{2}}=\ldots ={{n}_{k}}=1$ .
комментарий/решение

Задача №5. Для каждого натурального числа

$n$ найдите такое число

$m$ , что

${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Арман и Алия пригласили четыре семейные пары на годовщину своей свадьбы. Некоторые участники встречи обменялись подарками. Однако мужья не дарили своим женам, а жены не дарили своим мужьям. Когда все сели за стол, Арман спросил у всех сколько они сделали подарков. Оказалось, что все сделали разное число подарков. Сколько подарков получила Алия?
комментарий/решение

Задача №7. Пусть даны целые положительные числа

$m$ ,

$n$ такие, что

$\dfrac{m}{n} < \sqrt{7}$ . Докажите неравенство

$\dfrac{{{m}^{2}}+1}{mn} < \sqrt{7}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Пусть даны различные точки

${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{2014}}$ , никакие три из которых не лежат на одной прямой. Пусть существуют точки

$P$ и

$Q$ такие, что

${{A}_{1}}P+{{A}_{2}}P+\ldots +{{A}_{2014}}P={{A}_{1}}Q+{{A}_{2}}Q+\ldots +{{A}_{2014}}Q=2013.$ Докажите, что существует точка

$K$ такая, что

${{A}_{1}}K+{{A}_{2}}K+\ldots +{{A}_{2014}}K < 2013.$
комментарий/решение(1)