Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год


В выпуклом четырехугольнике ABCD на диагонали AC отмечена точка M. Через точку M проведены прямые l1 и l2 такие, что l1∥AB и l2∥CD. Положим P — точка пересечения l1 и CB, Q — точка пересечения прямой l2 и AD. Докажите, что середина отрезка PQ лежит на FE, где F — середина DC, E — середина AB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
6 месяца 28 дней назад #

Решение координатным методом.

1)Введём систему координат. Пусть E(0;0) - начало координат, ось Ox∥EF;F(S;0);Oy⊥EF

2)Так как точки E и F - середин отрезков AB и CD, то AE=EB=L1;CF=FD=L2

3)Пусть ∠BEF=α;∠CFE=β

4)С учетом (2) и (3) получаем координаты вершин:

A(−L1⋅cosα;−L1⋅sinα);B(L1⋅cosα;L1⋅sinα)

C(S−L2⋅cosβ;L2⋅sinβ);D(S+L2⋅cosβ;−L2⋅sinβ)

5)Пусть AMAC=φ;φ∈(0;1)

6)По условию, MP∥AB и MQ∥CD. Отсюда следует подобие по трем углам треугольников △ABC и △MPC, а также треугольников △CDA и △MQA

7)Теорема - у подобных треугольников соотношение соответствующих сторон равны.

8)Из (6) и (7) следуют равенства

MCAC=PCBC=1−φ;AMAC=AQAD=φ

9)Отношение длин отрезков равно отношению разности их координат (доказывается через подобие, опустим это)

10)Из (8) и (9) следуют равенства

PCBC=YC−YPYC−YB=1−φ;AQAD=YQ−YAYD−YA=φ

11)Выразим координаты точек P и Q

L2⋅sinβ−YPL2⋅sinβ−L1⋅sinα=1−φ;

YP=L2⋅sinβ−(1−φ)⋅(L2⋅sinβ−L1⋅sinα)

YQ−(−L1⋅sinα)−L2⋅sinβ−(−L1⋅sinα)=φ

YQ=φ⋅(−L2⋅sinβ+L1⋅sinα)−L1⋅sinα

12)Ключевой момент решения - найдем игрековую координату середины отрезка PQ - точки H

YH=0.5⋅(YP+YQ)=

0.5⋅(L2sinβ−(1−φ)(L2sinβ−L1sinα)+φ(−L2sinβ+L1sinα)−L1sinα)

YH=0

13)Утверждение (12) означает, что H∈EF. Потому что уравнение отрезка EF - это y=0. Задача доказана.

1234567