Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $M$. Через точку $M$ проведены прямые ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$ такие, что ${{l}_{1}} \parallel AB$ и ${{l}_{2}} \parallel CD$. Положим $P$ — точка пересечения ${{l}_{1}}$ и $CB$, $Q$ — точка пересечения прямой ${{l}_{2}}$ и $AD$. Докажите, что середина отрезка $PQ$ лежит на $FE$, где $F$ — середина $DC$, $E$ — середина $AB$.

Комментарий/решение

Решение координатным методом.

1)Введём систему координат. Пусть $E(0;0)$ - начало координат, ось $Ox\parallel EF;F(S;0); Oy\bot EF$

2)Так как точки $E$ и $F$ - середин отрезков $AB$ и $CD$, то $AE=EB=L_1;CF=FD=L_2$

3)Пусть $\angle BEF = \alpha;\angle CFE = \beta$

4)С учетом (2) и (3) получаем координаты вершин:

$$A(-L_1\cdot \cos\alpha;-L_1\cdot \sin\alpha);B(L_1\cdot \cos\alpha;L_1\cdot \sin\alpha)$$

$$C(S-L_2\cdot \cos\beta;L_2\cdot \sin\beta);D(S + L_2\cdot \cos\beta;-L_2\cdot \sin\beta)$$

5)Пусть $\dfrac{AM}{AC}=\varphi;\;\;\;\;\varphi\in(0;1)$

6)По условию, $MP\parallel AB$ и $MQ\parallel CD$. Отсюда следует подобие по трем углам треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle MPC$, а также треугольников $\triangle CDA$ и $\triangle MQA$

7)Теорема - у подобных треугольников соотношение соответствующих сторон равны.

8)Из (6) и (7) следуют равенства

$$\dfrac{MC}{AC} = \dfrac{PC}{BC} = 1-\varphi;\;\;\;\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AQ}{AD} = \varphi$$

9)Отношение длин отрезков равно отношению разности их координат (доказывается через подобие, опустим это)

10)Из (8) и (9) следуют равенства

$$\dfrac{PC}{BC}=\dfrac{Y_C-Y_P}{Y_C-Y_B}=1-\varphi;\dfrac{AQ}{AD} =\dfrac{Y_Q-Y_A}{Y_D-Y_A}= \varphi$$

11)Выразим координаты точек $P$ и $Q$

$$\dfrac{L_2\cdot\sin\beta-Y_P}{L_2\cdot\sin\beta-L_1\cdot\sin\alpha}=1-\varphi;$$

$$Y_P=L_2\cdot\sin\beta-(1-\varphi)\cdot(L_2\cdot\sin\beta-L_1\cdot\sin\alpha)$$

$$\dfrac{Y_Q-(-L_1\cdot\sin\alpha)}{-L_2\cdot\sin\beta-(-L_1\cdot\sin\alpha)}= \varphi$$

$$Y_Q = \varphi\cdot (-L_2\cdot\sin\beta+L_1\cdot\sin\alpha)-L_1\cdot\sin\alpha$$

12)Ключевой момент решения - найдем игрековую координату середины отрезка $PQ$ - точки $H$

$$Y_H = 0.5\cdot (Y_P+Y_Q) = $$

$$0.5\cdot\left(L_2\sin\beta-(1-\varphi)(L_2\sin\beta-L_1\sin\alpha)+\varphi (-L_2\sin\beta+L_1\sin\alpha)-L_1\sin\alpha \right)$$

$$Y_H = 0$$

13)Утверждение (12) означает, что $H\in EF$. Потому что уравнение отрезка $EF$ - это $y = 0$. Задача доказана.