Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

Для всякой конечной арифметической прогрессии ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ докажите равенство $\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}{{a}_{k}}}=0$.

Комментарий/решение

$$\sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^ka_k= \sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^k(a_0+kd)=a_0 \sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^k+d \sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^kk \qquad (1)$$

$$ (a+b)^n= \sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k, \qquad a=1,b=-1 \Rightarrow 0=(1-1)^n= \sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^k$$

$$C_n^k\cdot k=\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot k=\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}=n\cdot \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}=nC_{n-1}^{k-1}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow d \sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^kk=dn \sum_{k=0}^n (-1)^kC_{n-1}^{k-1}=dn(1-1)^{n-1}=0$$

$$ \Rightarrow \sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^ka_k=0$$