Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

Пусть даны различные точки ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{2014}}$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Пусть существуют точки $P$ и $Q$ такие, что $${{A}_{1}}P+{{A}_{2}}P+\ldots +{{A}_{2014}}P={{A}_{1}}Q+{{A}_{2}}Q+\ldots +{{A}_{2014}}Q=2013.$$ Докажите, что существует точка $K$ такая, что $${{A}_{1}}K+{{A}_{2}}K+\ldots +{{A}_{2014}}K < 2013.$$

Комментарий/решение

1)$N$-эллипс — обобщение эллипса, имеющее более двух фокусов.

Пусть на плоскости задано $n$ точек (фокусы), тогда $n$-эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до $n$ фокусов является постоянной величиной d. $1$-эллипс представляет собой окружность, $2$-эллипс — обычный эллипс.

2)Для любого числа $n$ фокусов $n$-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую

3)Тогда точки ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{2014}}$ - фокусы $2014$-эллипса, а точки $P$ и $Q$ - находятся на границе этого $2014$-эллипса

4)Для любой точки внутри $2014$-эллипса будет выполняться

$${{A}_{1}}K+{{A}_{2}}K+\ldots +{{A}_{2014}}K < 2013$$

По аналогии, как в обычном эллипсе сумма расстояний от внутренней точки до фокусов меньше, чем для точки на границе этого эллипса

Литература:

1)https://www.renyi.hu/~p_erdos/1982-18.pdf

2)https://ru.wikipedia.org/wiki/N-%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81