Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

Пусть даны целые положительные числа $m$, $n$ такие, что $\dfrac{m}{n} < \sqrt{7}$. Докажите неравенство $\dfrac{{{m}^{2}}+1}{mn} < \sqrt{7}$.

Комментарий/решение

Положив $\dfrac{m}{n}=x$, получим $\dfrac{ (nx)^2-\sqrt{7}n^2x+1}{n^2x}<0$ .

Решая как квадратное уравнение относительно $x$ , получим

$x \in$ $(\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{7-\dfrac{4}{n^2}}}{2} , \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{7-\dfrac{4}{n^2}}}{2})$

Так как числа $\mathbb {Z^+}$ и $x<\sqrt{7}$.

$\sqrt{7}+\sqrt{7-\dfrac{4}{n^2}}<2\sqrt{7}$

$\dfrac{1}{n^2}>0$

То есть таких чисел нет что $x>\sqrt{7}$