Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2014 жыл

Есеп №1. М, Е, Д, А, Л, Ь әріптерінен ең болмағанда бір әріпі бір реттен артық кездесетін қанша алты әріпті сөз құрауға болады?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кез келген ақырлы ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ арифметикалық прогрессиясы үшін $\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}{{a}_{k}}}=0$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABCD$ дөңес төртбұрышында $AC$ диагоналінде $M$ нүктесі белгіленген. $M$ нүктесі арқылы ${{l}_{1}}\parallel AB$ және ${{l}_{2}}\parallel CD$ болатындай ${{l}_{1}}$ және ${{l}_{2}}$ түзулері жүргізілген. $P$ нүктесі ${{l}_{1}}$ және $CB$-ның қиылысу нүктесі, ал $Q$ нүктесі — ${{l}_{2}}$ және $AD$-ның қиылысу нүктесі болсын. Егер $F$ — $DC$-ның ортасы және $E$ — $AB$-ның ортасы болса, онда $PQ$-ның ортасы $FE$-де жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Егер ${{n}_{1}}$, ${{n}_{2}}$, $\ldots $, ${{n}_{k}}$ оң бүтін сандары ${{n}_{1}}|{{2}^{{{n}_{2}}}}-1$, ${{n}_{2}}|{{2}^{{{n}_{3}}}}-1$, $\ldots $, ${{n}_{k}}|{{2}^{{{n}_{1}}}}-1$ қатынастарын қанағаттандырса, онда ${{n}_{1}}={{n}_{2}}=\ldots ={{n}_{k}}=1$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. Әрбір $n$ натурал саны үшін ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ болатындай $m$ санын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №6. Арман және Әлия үйлену тойларының жылдығына 4 отбасылар жұбын шақырды. Кездесудің кейбір қатысушылары сыйлықтарымен алмасты. Бірақ күйерлері әйелдеріне және әйелдері күйеулеріне сыйлық сыйлаған жоқ. Барлығы дастарханға жайғасқан соң, Арман барлығынан кімнің қанша сыйлық сыйлағанын сұрады. Барлығы әртүрлі сан рет сыйлық сыйлаған болып шықты. Алия қанша сыйлық алды?
комментарий/решение

---

Есеп №7. $\dfrac{m}{n} < \sqrt{7}$ болатындай $m$ және $n$ оң бүтін сандары берілсін. $\dfrac{{{m}^{2}}+1}{mn} < \sqrt{7}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8.  Ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын әртүрлі ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{2014}}$ нүктелері берілсін. $${{A}_{1}}P+{{A}_{2}}P+\ldots +{{A}_{2014}}P={{A}_{1}}Q+{{A}_{2}}Q+\ldots +{{A}_{2014}}Q=2013$$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері берілсін. ${{A}_{1}}K+{{A}_{2}}K+\ldots +{{A}_{2014}}K < 2013$ болатындай $K$ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---