Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2012 жыл

Есеп №1. Кез келген $x$ үшін ${{\left( 2x-1 \right)}^{20}}-{{\left( ax+b \right)}^{20}}={{\left( {{x}^{2}}+px+q \right)}^{10}}$ теңдігі орындалатындай $a,b,p,q$ сандарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABCDE$ бесбұрышы шеңберге іштей сызылған. $E$ нүктесінен $AB$, $BC$, $CD$ түзулеріне дейінгі қашықтықтар 2012 санының әртүрлі бөлгіштері болып келеді. $E$-ден $AD$ түзуіне дейінгі қашықтық та 2012 санының бөлгіші бола ала ма?
комментарий/решение

---

Есеп №3. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ шартын қанағаттандыратын теріс емес $x,y,z$, сандары үшін $\dfrac{x}{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{y}{1-{{y}^{2}}}+\dfrac{z}{1-{{z}^{2}}}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Жазықтықта 100 нүкте берілген. Оларды бір дөңгелекпен немесе өзара қиылыспайтын, диаметрлерінің қосындысы 100-ден кем және кез келген екеуінің ара қашықтықтары бірден үлкен бірнеше дөңгелектермен жабуға болатынын дәлелдеңдер. (Екі қиылыспайтын дөңгелектердің ара қашықтығы деп олардың ең жақын екі нүктелерінің арақашықтығын айтамыз.)
комментарий/решение

---

Есеп №5. Егер $8n+3$ саны, мұндағы $n$ — бүтін теріс емес сан, үш санның квадраттарының қосындысы түрінде көрсетуге болса, онда $n$ санын $n=\dfrac{x\left( x+1 \right)}{2}+\dfrac{y\left( y+1 \right)}{2}+\dfrac{z\left( z+1 \right)}{2}$ түрде көрсетуге болатынын дәлелдеңдер, мұндағы $x,y,z$ — бүтін сандар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Кез келген натурал $k$ және $n$ сандары үшін $\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1} < {{1}^{k}}+{{2}^{k}}+\dots+{{n}^{k}} < {{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{k+1}}\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1}$ теңсіздіктерін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №7. Жазықтықта $A$ және $B$ екі нүкте берілген. $C$ — $A$ және $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықтағы қандай да бір нүкте болсын. Мынандай нүктелер тізбегін құрастырамыз ${{C}_{1}}=C,{{C}_{2}},{{C}_{3}},\ldots ,{{C}_{n}},{{C}_{n+1}},\ldots$, мұндағы ${{C}_{n+1}}$ — $A{{C}_{n}}B$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $C$ нүктесінің қандай жағдайында:
a) ${{C}_{n}}$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасына түседі (${{C}_{n+1}}$ және тізбектің келесі мүшелері анықталмаған);
b) ${{C}_{n}}$ нүктесі $C$-мен беттеседі?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. Тақтада бірнеше оң сандар жазылған. Олардың қос-қостан көбейтінділерінің қосындысы 1-ге тең. Қалғандарының қосындысы $\sqrt{2}$-ден кіші болатындай етіп бір санды сызып тастауға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---