Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год

Если число $8n+3$, где $n$ — целое неотрицательное число, представимо в виде суммы трех квадратов, то число $n$ представимо в виде $n=\dfrac{x\left( x+1 \right)}{2}+\dfrac{y\left( y+1 \right)}{2}+\dfrac{z\left( z+1 \right)}{2}$, где $x,y,z$ — целые числа.

Комментарий/решение

Докажем, что если число $8n+3$ можно представить в виде суммы трех квадратов, то каждое число нечетное. Действительно, квадрат числа при делении на 8 дает только остатки 0, 1 и 4. Поэтому остаток 3 (число $8n+3$ дает остаток 3 при делении на 8) можно собрать только из трех остатков равные 1 (можно легко перебрать). А остаток 1 дает только нечетное число. Поэтому

$$n=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 8\cdot n=8 \cdot \left(\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}\right) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow 8n= 4x^2+4x+4y^2+4y+4z^2+4z\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 8n+3=(4x^2+4x+1)+(4y^2+4y+1)+(4z^2+4z+1)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 8n+3=(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2.$$ Как видим, все числа $2x+1,2y+1$ и $2z+1$ нечетные