қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год
Задача №1. Найдите такие числа $a,b,p,q$ чтобы равенство ${{\left( 2x-1 \right)}^{20}}-{{\left( ax+b \right)}^{20}}={{\left( {{x}^{2}}+px+q \right)}^{10}}$ выполнялось при любых $x$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$ до прямых $AB$, $BC$, $CD$ являются различными делителями числа 2012. Могло ли казаться так, что расстояние от точки $E$ до прямой $AD$ также является делителем числа 2012?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Докажите, что для неотрицательных чисел $x,y,z$, удовлетворяющих условию ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$, выполняется неравенство $\dfrac{x}{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{y}{1-{{y}^{2}}}+\dfrac{z}{1-{{z}^{2}}}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На плоскости даны 100 точек. Докажите, что их можно покрыть одним или несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше 100 и расстояние между любыми двумя из которых больше 1 (расстояние между двумя непересекающимися кругами — это расстояние между их ближайшими точками).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Если число $8n+3$, где $n$ — целое неотрицательное число, представимо в виде суммы трех квадратов, то число $n$ представимо в виде $n=\dfrac{x\left( x+1 \right)}{2}+\dfrac{y\left( y+1 \right)}{2}+\dfrac{z\left( z+1 \right)}{2}$, где $x,y,z$ — целые числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Для произвольных натуральных чисел $k$ и $n$ докажите неравенства $\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1} < {{1}^{k}}+{{2}^{k}}+...+{{n}^{k}} < {{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{k+1}}\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Пусть $C$ — некоторая точка, равноудаленная от $A$ и $B$. Построим последовательность точек ${{C}_{1}}=C,{{C}_{2}},{{C}_{3}},\ldots ,{{C}_{n}},{{C}_{n+1}},\ldots $, где ${{C}_{n+1}}$ — центр окружности, описанной около треугольника $A{{C}_{n}}B$. При каком положении точки $C$:
a) точка ${{C}_{n}}$ попадет на середину отрезка $AB$ (при этом ${{C}_{n+1}}$ и дальнейшие члены последовательности не определены);
b) точка ${{C}_{n}}$ совпадет с $C$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. На доске написано несколько положительных чисел, сумма попарных произведений которых равна 1. Докажите, что можно вычеркнуть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет меньше 2.
комментарий/решение
комментарий/решение