Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год

Задача №1. Найдите такие числа

$a,b,p,q$ чтобы равенство

${{\left( 2x-1 \right)}^{20}}-{{\left( ax+b \right)}^{20}}={{\left( {{x}^{2}}+px+q \right)}^{10}}$ выполнялось при любых

$x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пятиугольник

$ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки

$E$ до прямых

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ являются различными делителями числа 2012. Могло ли казаться так, что расстояние от точки

$E$ до прямой

$AD$ также является делителем числа 2012?
комментарий/решение

Задача №3. Докажите, что для неотрицательных чисел

$x,y,z$ , удовлетворяющих условию

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ , выполняется неравенство

$\dfrac{x}{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{y}{1-{{y}^{2}}}+\dfrac{z}{1-{{z}^{2}}}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. На плоскости даны 100 точек. Докажите, что их можно покрыть одним или несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше 100 и расстояние между любыми двумя из которых больше 1 (расстояние между двумя непересекающимися кругами — это расстояние между их ближайшими точками).
комментарий/решение

Задача №5. Если число

$8n+3$ , где

$n$ — целое неотрицательное число, представимо в виде суммы трех квадратов, то число

$n$ представимо в виде

$n=\dfrac{x\left( x+1 \right)}{2}+\dfrac{y\left( y+1 \right)}{2}+\dfrac{z\left( z+1 \right)}{2}$ , где

$x,y,z$ — целые числа.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Для произвольных натуральных чисел

$k$ и

$n$ докажите неравенства

$\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1} < {{1}^{k}}+{{2}^{k}}+...+{{n}^{k}} < {{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{k+1}}\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1}$ .
комментарий/решение

Задача №7. На плоскости заданы две точки

$A$ и

$B$ . Пусть

$C$ — некоторая точка, равноудаленная от

$A$ и

$B$ . Построим последовательность точек

${{C}_{1}}=C,{{C}_{2}},{{C}_{3}},\ldots ,{{C}_{n}},{{C}_{n+1}},\ldots$ , где

${{C}_{n+1}}$ — центр окружности, описанной около треугольника

$A{{C}_{n}}B$ . При каком положении точки

$C$ :
a) точка

${{C}_{n}}$ попадет на середину отрезка

$AB$ (при этом

${{C}_{n+1}}$ и дальнейшие члены последовательности не определены);
b) точка

${{C}_{n}}$ совпадет с

$C$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №8. На доске написано несколько положительных чисел, сумма попарных произведений которых равна 1. Докажите, что можно вычеркнуть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет меньше 2.
комментарий/решение