Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год

Для произвольных натуральных чисел $k$ и $n$ докажите неравенства $\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1} < {{1}^{k}}+{{2}^{k}}+...+{{n}^{k}} < {{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{k+1}}\dfrac{{{n}^{k+1}}}{k+1}$.