Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год

Докажите, что для неотрицательных чисел $x,y,z$, удовлетворяющих условию ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$, выполняется неравенство $\dfrac{x}{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{y}{1-{{y}^{2}}}+\dfrac{z}{1-{{z}^{2}}}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Комментарий/решение

$$ABCDA_1B_1C_1D_1 - ПАРАЛЛЕПИПЕД$$

$$AB=x$$ $$AA_1=y$$ $$BC=z$$

$$d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1-диагональ$$

$$ \frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{z^2+y^2}+\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$$

$$\frac{1}{\sqrt{z^2+y^2}}\cdot [\frac{x}{\sqrt{z^2+y^2}}]+\frac{1}{\sqrt{x^2+z^2}}\cdot [\frac{y}{\sqrt{x^2+z^2}}]+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot [\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}]\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$ [\frac{x}{\sqrt{z^2+y^2}}]=tg(A_1CD)$$ $$[\frac{y}{\sqrt{z^2+x^2}}]=tg(ACA_1)$$ $$[\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}]=tg(BA_1C)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{d\cdot tg(A_1CD)}{\sqrt{z^2+y^2}}+\frac{d\cdot tg(ACA_1)}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{d\cdot tg(BA_1C)}{\sqrt{x^2+y^2}}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{tg(A_1CD)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{z^2+y^2}}+\frac{tg(ACA_1)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{tg(BA_1C)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=$$ $$=tg(A_1CD)\sqrt{1+tg^2(A_1CD)}+tg(ACA_1)\sqrt{1+tg^2(ACA_1)}+tg(BA_1C)\sqrt{1+tg^2(BA_1C)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}$$