Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2012 жыл
x2+y2+z2=1 шартын қанағаттандыратын теріс емес x,y,z, сандары үшін x1−x2+y1−y2+z1−z2≥3√32 теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
ABCDA1B1C1D1−ПАРАЛЛЕПИПЕД
AB=x AA1=y BC=z
d=√x2+y2+z2=1−диагональ
x1−x2+y1−y2+z1−z2≥3√32⇒xz2+y2+yx2+z2+zx2+y2≥3√32⇒
1√z2+y2⋅[x√z2+y2]+1√x2+z2⋅[y√x2+z2]+1√x2+y2⋅[z√x2+y2]≥3√32
[x√z2+y2]=tg(A1CD) [y√z2+x2]=tg(ACA1) [z√x2+y2]=tg(BA1C)⇒
⇒d⋅tg(A1CD)√z2+y2+d⋅tg(ACA1)√x2+z2+d⋅tg(BA1C)√x2+y2≥3√32⇒
⇒tg(A1CD)√x2+y2+z2√z2+y2+tg(ACA1)√x2+y2+z2√x2+z2+tg(BA1C)√x2+y2+z2√x2+y2= =tg(A1CD)√1+tg2(A1CD)+tg(ACA1)√1+tg2(ACA1)+tg(BA1C)√1+tg2(BA1C)≥3√32
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.