Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сколько существует натуральных чисел больших 10, каждое из которых равно сумме его цифр и их произведения (например,

$29=2+9+2\cdot 9$ )?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Действительные числа

$x$ и

$y$ удовлетворяют следующим условиям:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2 + xy + y^2 = 4, \\ x^4 + x^2 y^2 + y^4 = 8.\\ \end{array} \right.$ Докажите, что

$x^6 + x^3 y^3 + y^6$ является натуральным, и вычислите (найдите) его.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть сторона

$AB$ треугольника

$ABC$ является диаметром окружности радиусом

$R$ и

$C$ лежит на этой окружности. Биссектриса угла

$\angle BAC$ пересекает

$BC$ в точке

$E$ , а окружность — в точке

$D$ .

$AC$ пересекается с окружностью, описанной около треугольника

$CED$ , в точке

$F$ . Если

$BC=a$ , выразите

$CF$ через

$R$ и

$a$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. В каком из выражений

$\left( {1 - x^2 + x^3 } \right)^{1000}$ и

$\left( {1 + x^2 - x^3 } \right)^{1000}$ после раскрытия скобок и приведения подобных членов, больший коэффициент при

$x^{20}$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Какое из чисел больше

$2006^{2008} \cdot 2008^{2006}$ или

$2007^{2\cdot 2007}$ ? Почему?
комментарий/решение(2)

Задача №6. Определите простые числа

$p$ и

$q$ , если известно, что уравнение

$x^4 - px^3 + q = 0$ имеет целый корень.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Из точки

$C$ проведены касательные

$CA$ и

$CB$ к окружности

$O$ . Из произвольной точки

$N$ окружности опущены перпендикуляры

$ND$ ,

$NE$ и

$NF$ соответственно на прямые

$AB$ ,

$CA$ и

$CB$ . Докажите, что

$ND=\sqrt{NE\cdot NF}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
комментарий/решение(11)