Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

Пусть сторона $AB$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности радиусом $R$ и $C$ лежит на этой окружности. Биссектриса угла $\angle BAC$ пересекает $BC$ в точке $E$, а окружность — в точке $D$. $AC$ пересекается с окружностью, описанной около треугольника $CED$, в точке $F$. Если $BC=a$, выразите $CF$ через $R$ и $a$.

Комментарий/решение

$\angle BCA = 90^{\circ}$ , так как $AD$ - биссектриса и $\Delta FCD$ вписан в окружность , то $BD=CD=DF$ , получаем $FC=R \cdot (2sin \angle CAD)^2$ учитывая что $ \dfrac{arcsin(\dfrac{a}{2R})}{2}=\angle CAD$ , из формулы синуса половинного угла , получаем окончательный ответ $ CF = R (2-\sqrt{4-\dfrac{a^2}{R^2}} ) $ .

можно расшыренный ответ