Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасы — радиусы $R$-ге тең шеңбердің диаметрі, ал $C$ — осы шеңбердің нүктесі. $\angle BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$-ны $E$ нүктесінде, ал шеңберді $D$ нүктесінде қияды. Ал $AC$ кесіндісі $CED$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $F$ нүктесінде қияды. Егер $BC=a$ болса, онда $CF$-ты $R$ және $a$ арқылы өрнектеңіз.

Комментарий/решение

$\angle BCA = 90^{\circ}$ , так как $AD$ - биссектриса и $\Delta FCD$ вписан в окружность , то $BD=CD=DF$ , получаем $FC=R \cdot (2sin \angle CAD)^2$ учитывая что $ \dfrac{arcsin(\dfrac{a}{2R})}{2}=\angle CAD$ , из формулы синуса половинного угла , получаем окончательный ответ $ CF = R (2-\sqrt{4-\dfrac{a^2}{R^2}} ) $ .

можно расшыренный ответ