Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Цифрларының қосындысы мен көбейтіндісін қоссақ сол сан өзі шығатындай, 10-нан үлкен қанша натурал сандар бар? (Мысалы

$29=2\cdot 9+2+9$ .)
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$x$ және

$y$ сандары келесі шартты қанағаттандырады:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} = 4,\\ {x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4} = 8. \end{array} \right.$ Онда

${{x}^{6}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+{{y}^{6}}$ натурал сан екенін дәледеңіз және оны табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ қабырғасы — радиусы

$R$ -ге тең шеңбердің диаметрі, ал

$C$ — осы шеңбердің нүктесі.

$\angle BAC$ бұрышының биссектрисасы

$BC$ -ны

$E$ нүктесінде, ал шеңберді

$D$ нүктесінде қияды. Ал

$AC$ кесіндісі

$CED$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$F$ нүктесінде қияды. Егер

$BC=a$ болса, онда

$CF$ -ты

$R$ және

$a$ арқылы өрнектеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$(1-x^2+x^3)^{1000}$ және

$(1+x^2-x^3)^{1000}$ өрнектерінің жақшаларын ашып, ұқсас мүшелерін біріктіргеннен кейін олардың қайсысында

$x^{20}$ -ның алдындағы коэффициенті үлкен болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Қайсысы үлкен:

${{2008}^{2006}}\cdot {{2006}^{2008}}$ ме әлде

${{2007}^{2007}}$ ме? Неліктен?
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$x^4 - px^3 + q = 0$ теңдеуінің бүтін түбірі бар болатындай барлық

$p$ және

$q$ жай сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$C$ нүктесінен

$O$ шеңберіне

$CA$ және

$CB$ жанамалары жүргізілген. Кез келген шеңбердің

$N$ нүктесінен

$AB$ ,

$CA$ және

$CB$ түзулеріне сәйкесінше

$ND$ ,

$NE$ және

$NF$ перпендикулярды түсірілген.

$ND=\sqrt{NE\cdot NF}$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Автобус билетінің нөмірі алты цифрдан тұрады (бірінші цифрлары нөл де болуы мумкін). Егер бастапқы үш цифрдың қосындысы қалған үшеуінің қосындысына тең болса билет бақытты деп аталады. Бақытты билеттердің нөмірлерінің барлығының қосындысы 13-ке бөлінетінің дәлелдеңіз.
комментарий/решение(11)