Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

В каком из выражений $\left( {1 - x^2 + x^3 } \right)^{1000}$ и $\left( {1 + x^2 - x^3 } \right)^{1000}$ после раскрытия скобок и приведения подобных членов, больший коэффициент при $x^{20}$?

Комментарий/решение

Пусть $P(x) = (1 – x² + x³)^{1000}$ и $Q(x) = (1 + x² – x³)^{1000}$. Коэффициент при $x^{20}$ у многочлена $P(x)$ такой же, как у многочлена $P(– x) = (1 – x² – x³)^{1000}$, а у многочлена $Q(x)$ такой же, как у многочлена $Q(– x) = (1 + x² + x³)^{1000}$. Но у многочлена $(1 + x² + x³)^{1000}$ коэффициент при $x^{20}$ больше, чем у многочлена $(1 – x² – x³)^{1000}$. Действительно, у первого многочлена член $p_{20}x^{20}$ равен сумме нескольких выражений вида $(x²)^n(x³)^m$, где $2n + 3m = 20$, а у второго многочлена член $q_{20}x^{20}$ равен сумме тех же самых выражений, но со знаком $(–1)^{n+m}$. Во втором случае встречаются члены со знаком минус, например, при $m = 2$ и $n = 7$.

Ответ

В выражении $(1 + x^2 – x^3)^{1000}$