Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
(1−x2+x3)1000 және (1+x2−x3)1000 өрнектерінің жақшаларын ашып, ұқсас мүшелерін біріктіргеннен кейін олардың қайсысында x20-ның алдындағы коэффициенті үлкен болады?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть P(x)=(1–x²+x³)1000 и Q(x)=(1+x²–x³)1000. Коэффициент при x20 у многочлена P(x) такой же, как у многочлена P(–x)=(1–x²–x³)1000, а у многочлена Q(x) такой же, как у многочлена Q(–x)=(1+x²+x³)1000. Но у многочлена (1+x²+x³)1000 коэффициент при x20 больше, чем у многочлена (1–x²–x³)1000. Действительно, у первого многочлена член p20x20 равен сумме нескольких выражений вида (x²)n(x³)m, где 2n+3m=20, а у второго многочлена член q20x20 равен сумме тех же самых выражений, но со знаком (–1)n+m. Во втором случае встречаются члены со знаком минус, например, при m=2 и n=7.
Ответ
В выражении (1+x2–x3)1000
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.