Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

Действительные числа $x$ и $y$ удовлетворяют следующим условиям: $\left\{ \begin{array}{rcl} x^2 + xy + y^2 = 4, \\ x^4 + x^2 y^2 + y^4 = 8.\\ \end{array} \right. $ Докажите, что $x^6 + x^3 y^3 + y^6$ является натуральным, и вычислите (найдите) его.

Комментарий/решение

$$x^2 + xy + y^2 = 4$$

$$x^4 + x^2*y^2+y^4 = 8$$

$$x^2 +y^2 = 4-xy$$

$$(x^2+y^2)^2-x^2*y^2 = (4-xy)^2-x^2*y^2=8$$

$$x*y=1$$

$$x^2+y^2=3$$

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=3 отсюда (x+y)^2 =5$$

$$ x^6+x^3*y^3+y^6=(x^3+y^3)^2-(xy)^3=(x+y)^2*(x^2+y^2-xy)^2-(xy)^3=5*4-1=19$$