Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс
Действительные числа x и y удовлетворяют следующим условиям: {x2+xy+y2=4,x4+x2y2+y4=8. Докажите, что x6+x3y3+y6 является натуральным, и вычислите (найдите) его.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x2+xy+y2=4
x4+x2∗y2+y4=8
x2+y2=4−xy
(x2+y2)2−x2∗y2=(4−xy)2−x2∗y2=8
x∗y=1
x2+y2=3
x2+y2=(x+y)2−2xy=3отсюда(x+y)2=5
x6+x3∗y3+y6=(x3+y3)2−(xy)3=(x+y)2∗(x2+y2−xy)2−(xy)3=5∗4−1=19
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.