Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс


Действительные числа x и y удовлетворяют следующим условиям: {x2+xy+y2=4,x4+x2y2+y4=8. Докажите, что x6+x3y3+y6 является натуральным, и вычислите (найдите) его.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
9 года назад #

x2+xy+y2=4

x4+x2y2+y4=8

x2+y2=4xy

(x2+y2)2x2y2=(4xy)2x2y2=8

xy=1

x2+y2=3

x2+y2=(x+y)22xy=3отсюда(x+y)2=5

x6+x3y3+y6=(x3+y3)2(xy)3=(x+y)2(x2+y2xy)2(xy)3=541=19