Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2004 год

Задача №1. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Число

$x$ таково, что

$15\%$ от него и

$33\%$ от него — целые положительные числа. Каково наименьшее число

$x$ (необязательно целое!) с таким свойством?
комментарий/решение(2)

Задача №3. Дано число

$100\ldots 01$ . Число нулей в нем равно 20. Доказать, что это число составное.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Придумайте три треугольника, из которых можно составить (без наложений) и треугольник, и выпуклый четырехугольник, и выпуклый пятиугольник (каждый раз надо использовать все три треугольника, треугольники разрешается поворачивать).
комментарий/решение(4)

Задача №5. Дан квадрат со стороной 1. Найти множество всех точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Есть две кучки конфет по девять в каждой. За один ход нужно переложить из одной кучки в другую одну конфету и съесть две конфеты из какой-либо кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто побеждает в данной игре — первый, т.е. кто начинает игру, или второй?
комментарий/решение

Задача №7.

$x$ и

$y$ — целые числа такие, что

$3x+7y$ делится на 19. Докажите, что

$43x+75y$ тоже делится на 19.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дан квадрат

$5\times 5$ клеток. Расставьте в клетках этого квадрата плюсы и минусы так, чтобы в любом квадрате

$3\times 3$ оказалось ровно 8 плюсов.
комментарий/решение(1)

Задача №9. На боковой стороне

$BC$ равнобедренного треугольника

$ABC$ с вершиной в точке

$C$ взята точка

$M$ , а на отрезке

$MC$ — точка

$N$ так, что

$MN=AM$ . Известно, что углы

$BAM$ и

$NAC$ равны. Найдите величину угла

$MAC$ .
комментарий/решение(3)

Задача №10. Теплоход отплыл из порта

$A$ в порт

$B$ . Через

$7,\!5$ часов вслед за ним из порта

$A$ вышел катер. На половине пути катер догнал теплоход. Когда катер прибыл в порт

$B$ , теплоходу осталось плыть

$0,\!3$ всего пути. Какое время потребовалось теплоходу на весь путь от

$A$ до

$B$ , если скорости катера и теплохода постоянны?
комментарий/решение