Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2004 год

Дано число $100\ldots 01$. Число нулей в нем равно 20. Доказать, что это число составное.

Комментарий/решение

Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.В этом числе равно две единичка ,а остальные так как первпя единичка стоит на нечетном месте,а второя на четном.Тогда 100...01делится на 11и не равно 11.Тогда эта число составное.

$10^{21}+1 = (10^7)^3+1^3=(10^7+1)(10^{14}-10^7+1)$