Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. На продолжении стороны BC за точку C отметили точку N так, что 2BN=AB+BC. Пусть BS — биссектриса треугольника ABC, M — середина стороны AC, а L — такая точка на отрезке BS, что ML∥AB. Докажите, что 2LN=AC.
(
А. Антропов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1.
(
С. Берлов,
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На каждой стороне квадрата выбрано по 100 точек, из каждой выбранной точки внутрь квадрата проведён отрезок, перпендикулярный соответствующей стороне квадрата. Оказалось, что никакие два из проведённых отрезков не лежат на одной прямой. Отметим все точки пересечения этих отрезков. При каком наибольшем k<200 может случиться так, что на каждом проведённом отрезке лежит ровно k отмеченных точек?
(
И. Богданов,
Н. Авилов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)