Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2014-2015 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1.  Қабырғалары 1 және 11 болатын тіктөртбұрышты және қабырғасы 2 болатын квадратты жақсы тіктөртбұрыштар деп атайық. Қабырға ұзындықтары 100-ден үлкен бүтін сан болатын тіктөртбұрыштарды жақсы тіктөртбұрыштарға бөлуге болатынын дәлелдеңіздер. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасы $BC$ қабырғасынан үлкен. $BC$ қабырғасының $C$ нүктесінен әрі қарай созындысынан $2BN=AB+BC$ болатындай $N$ нүктесін белгілеген. $BS$ — $ABC$ үшбұрышының биссектрисасы, $M$ — $AC$ қабырғасының ортасы, ал $L$ нүктесі $BS$ кесіндісіндегі $ML \parallel AB$ болатындай нүкте. $2LN=AC$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Антропов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Шеңбер бойымен 2015 оң сандар жазылған. Кез келген қатар келген екі санның қосындысы олардан кейін сағат бойымен тұрған екі сандарға кері сандардың қосындысынан үлкен. Берілген барлық 2015 санның көбейтіндісі 1-ден үлкен екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, А. Голованов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Квадраттың әр қабырғасынан 100 нүктеден белгілеген. Әр нүктеден квадраттың ішіне қарай сәйкес қабырғаға перпендикуляр кесінді жүргізілген. Жүргізілген кесінділердің ешқандай екеуі бір түзудің бойында жатпайтындай болып шыққан. Осы кесінділердің барлық қиылысу нүктелері белгіленген. $k < 200$ санының қандай ең үлкен мәнінде, әр жүргізілген кесіндіде дәл $k$ белгіленген нүкте жатады? ( И. Богданов, Н. Авилов )
комментарий/решение(1)

---