XIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2014 год

Задача №1. Какое наибольшее число монет можно расставить в клетках таблицы

$n \times n$ (в каждой клетке таблицы может находиться не более одной монеты) так, чтобы любая монета не была одновременно ниже и правее чем любая другая? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Касательные в точках

$A$ и

$B$ к окружности

$\omega$ , описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника

$ABC$ , пересекаются в точке

$S$ . Пусть

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ . Прямая

$HA$ пересекает прямые

$CM$ и

$CS$ в точках

$M_a$ и

$S_a$ соответственно. Аналогично определены точки

$M_b$ и

$S_b$ . Докажите, что

$M_a S_b$ и

$M_b S_a$ — высоты треугольника

$M_a M_b H$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Для неотрицательных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ выполнено равенство

$a^3 + b^3 + c^3 + abc = 4$ . Докажите, что

$a^3 b + b^3 c + c^3 a \le 3$ . ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$\mathbf{N}$ — множество всех натуральных чисел. Определите все функции

$f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел

$m,~n$ выполнены неравенства

$2f(mn) \ge f(m^2 + n^2) - f(m)^2 - f(n)^2 \ge 2f(m)f(n).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

результаты