қазақша
русский14-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2014 жыл
Есеп №1. Әр тиын, калған басқа тиындарға қарағанда, бір уақытта төмен және оң жағында болмайтындай етіп, өлшемі $n\times n$ болатын тақтаның шаршыларында (тақтаның әр шаршысында бірден көп емес) ең көп дегенде қанша тиын қоюға болады?
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған $\omega $ шеңберіне $A$ және $B$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $S$ нүктесінде қиылысады. $M$ — $AB$ қабырғасының ортасы, ал $H$ — $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі болсын. $HA$ түзуі $CM$ және $CS$ түзулерін сәйкесінше ${{M}_{a}}$ және ${{S}_{a}}$ нүктелерінде қисын. Дәл сол сияқты ${{M}_{b}}$ және ${{S}_{b}}$ нүктелерін анықтаймыз. ${{M}_{a}}{{S}_{b}}$ және ${{M}_{b}}{{S}_{a}}$ – ${{M}_{a}}{{M}_{b}}H$ үшбұрышының биіктіктері екенін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Теріс емес $a$, $b$, $c$ сандары үшін ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+abc=4$ теңдігі орындалса, онда ${{a}^{3}}b+{{b}^{3}}c+{{c}^{3}}a\le 3$
теңсіздігін дәлелдеңіздер.
(
Мирзахмедов A.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $\mathbb{N}$ — барлық натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал $m$, $n$ сандары үшін $2f(mn)\ge f({{m}^{2}}+{{n}^{2}})-f{{(m)}^{2}}-f{{(n)}^{2}}\ge 2f(m)f(n)$ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)