14-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2014 жыл

Есеп №1. Әр тиын, калған басқа тиындарға қарағанда, бір уақытта төмен және оң жағында болмайтындай етіп, өлшемі

$n\times n$ болатын тақтаның шаршыларында (тақтаның әр шаршысында бірден көп емес) ең көп дегенде қанша тиын қоюға болады? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Теңбүйірлі емес сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған

$\omega$ шеңберіне

$A$ және

$B$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$S$ нүктесінде қиылысады.

$M$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$H$ —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі болсын.

$HA$ түзуі

$CM$ және

$CS$ түзулерін сәйкесінше

${{M}_{a}}$ және

${{S}_{a}}$ нүктелерінде қисын. Дәл сол сияқты

${{M}_{b}}$ және

${{S}_{b}}$ нүктелерін анықтаймыз.

${{M}_{a}}{{S}_{b}}$ және

${{M}_{b}}{{S}_{a}}$ –

${{M}_{a}}{{M}_{b}}H$ үшбұрышының биіктіктері екенін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Теріс емес

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+abc=4$ теңдігі орындалса, онда

${{a}^{3}}b+{{b}^{3}}c+{{c}^{3}}a\le 3$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Мирзахмедов A. )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$\mathbb{N}$ — барлық натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал

$m$ ,

$n$ сандары үшін

$2f(mn)\ge f({{m}^{2}}+{{n}^{2}})-f{{(m)}^{2}}-f{{(n)}^{2}}\ge 2f(m)f(n)$ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

результаты